Hola Paula,
Se pueden descargar en tu ordenador con un “cliente de correo”, usando POP y quedarían guardados en el ordenador.
Habría que marcar la opción de “borrar del servidor” para liberar el espacio del hosting.
El problema es que perderás la seguridad de tenerlos online, si por ejemplo se rompe tu ordenador, te quedarías sin los correos.
Otra opción que funciona muy bien en estos casos es configurarlo en una cuenta de Gmail.
Gmail funciona como ese “cliente de correo”, te deja enviar y recibir mensajes en el buzón de tu hosting, pero además los guarda en Gmail.
Esto te da seguridad y un respaldo.
Estos son los pasos para configurar un buzón en Gmail:
https://support.google.com/mail/answer/21289?hl=es-ES
Y para añadir tu dirección de envío:
https://support.google.com/mail/answer/22370?hl=es-ES
Espero que te sirva de ayuda.