Hola Alex!
Antes había una herramienta online que te copiaba los mensajes de un buzón y los pasaba a otro.
Revisando, eso así de hoy se puede hacer a mano con Thunderbird:
http://www.thunderbird.net
En Agencia Internet programamos un script para automatizarlo.
Mi sugerencia es que configures dos buzones de correo: el original y donde quieres poner la copia.
Luego seleccionas los mensajes que quieras copiar y con el botón derecho, te da la opción de copiarlos a la de respaldo.
OJO: siempre usando IMAP.
Lo mejor sería hacerlo por años, copias por ejemplo todos los mensajes de un año completo (que no necesitas ver todos los días), y luego los pasas al buzón de correo backup.
Después en el original, los borras (no olvides vaciar la papelera) y recuperas todo ese espacio.
Me anoto hacer un vídeo con los pasos 🙂